小区开大门需要物业或居委会的批准。小区的物业管理公司是依据政府相关文件和法律法规，代表业主进行小区管理的专业公司。物业公司在小区开大门时需要按相关程序办理手续，并得到居委会或相关政府部门的批准。此外，因为开门涉及到小区的安全问题，物业公司还需要考虑到小区的整体安全管理方案，对开门进行布局设计和技术装备的配合，确保大门开放后小区的安全可控性。
因此，居民在申请开门时需要联系物业公司或居委会，遵守相关程序，得到物业公司和社区政府的批准才能开门。
小区开始铺路和绿化后，交房的时间取决于多个因素。一般来说，铺路和绿化是小区建设的后期阶段，但这并不意味着一旦开始这些工作，房子就可以立即交付。以下是一些可能影响交房时间的因素：
工程进度：铺路和绿化只是小区建设中的一部分工作，还可能包括其他未完成的工程，如室内装修、电气安装、管道铺设等。因此，交房时间取决于所有工程的整体进度。
施工质量：为了确保房屋的安全和舒适度，建设方需要确保所有工程都符合相关标准和规范。如果施工质量存在问题，需要进行整改和修复，这可能会延长交房时间。
相关验收：小区建设完成后，需要通过相关部门的验收，如建设、规划、环保、消防等部门的验收。如果验收不合格，需要进行整改，这也会影响交房时间。
物业管理：交房前，小区需要完成物业管理的准备工作，如制定管理规定、招聘物业人员、配备必要的设施等。这些准备工作也需要时间。
综上所述，小区开始铺路和绿化后，交房时间是不确定的，取决于多个因素。一般来说，如果所有工程都顺利进行，施工质量符合要求，验收合格，物业管理准备就绪，那么交房时间可能会在几个月到一年左右。但具体的时间还需要根据实际情况来确定。对于购房者来说，建议与开发商或建设方保持沟通，及时了解工程进度和交房时间，以便做好相应的准备。