数论中的重要概念。给定一个正整数m,如果二整数α、b)满足m│α-b)(α-b)被m整除),就称整数α、b)对模m同余，记作α≡b)(mod m)。对模m同余是整数的一个等价关系。
性质信息
1 反身性 a ≡ a (mod m)
2 对称性 若a ≡ b(mod m) 则b ≡ a (mod m)
3 传递性 若a ≡ b (mod m)，b ≡ c (mod m),则a ≡ c (mod m)
4 同余式相加若a ≡ b (mod m)，c≡d(mod m)，则a+-c≡b+-d（mod m）
5 同余式相乘 若a ≡ b (mod m)，c≡d(mod m)，则ac≡bd（mod m）
同余定理是一个关于整数除法的基本定理，它表明两个整数a和b，如果它们除以同一个正整数m得到的余数相等，那么a和b的差值是m的倍数。
经典例题：证明同余定理：
证明：
设a和b是两个整数，m是一个正整数。
假设a ≡ b (mod m)，也就是说，a和b除以m的余数相等。
那么，我们可以写出下面的等式：
a = qm + r （1）
b = sm + r （2）
在这里，q和s是整数，且0 ≤ r < m。
从等式（1）和（2）中，我们可以得到：
a - b = (qm + r) - (sm + r)
经过简化，我们得到：
a - b = (q - s)m
根据等式（1）和（2），我们可以知道r = a mod m = b mod m，所以有：
a - b = (q - s)m ≡ 0 (mod m)
从上面的推导我们可以得出结论，如果a ≡ b (mod m)，那么a - b一定是m的倍数。这证明了同余定理。
这个例题通过直观的推导，展示了同余定理的证明过程。
1 同余问题是指两个数在模同一个数的情况下是否有相等的余数。
2 这是由于在模运算中，我们只关心两个数是否余数相等，而不关心它们的实际值。
例如，在模7的情况下，18和11虽然看上去差别很大，但它们具有相同的余数4，因此它们是同余的。