证明函数单调性常见的四种方法包括：导数判定法、递推判定法、拐点判定法和画图法。
其中，导数判定法是利用函数的导数来判断函数的单调性；递推判定法是利用函数递推式来判断函数单调性；拐点判定法是利用函数的二阶导数来判断函数的单调性；画图法则是通过画出函数的图像来直观地判断函数的单调性。这些方法在不同的场合下都有其重要的应用，可以帮助我们更准确地研究函数的性质，从而更好地解决实际问题。
方法如下：
1、判断导数是否存在：对于函数在某一点x处的导数存在，则称函数在x处可导，反之则不可导。
2、判断左右导数是否相等：如果函数在x处的左导数等于右导数，且导数存在，则函数在x处可导。
3、判断函数图像在x处是否有切线：如果函数在x处存在切线，则函数在x处可导。
4、应用柯西-黎曼条件：如果函数满足柯西-黎曼条件，则函数在该点处可导。
5、应用拉格朗日中值定理：如果函数在[a,b]内连续，在(a,b)内可导，则函数在(a,b)内至少存在一个点c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a]。