根据国家税务总局的规定，劳务公司可以开具13%的劳务专用发票。但需要满足以下要求：
1）劳务服务必须符合国家规定的劳务服务范畴；
2）合同、协议等劳务凭证必须符合相关法律法规和规定；
3）收取服务费的金额必须与劳务服务所得收入相符；
4）纳税人资质必须符合税收法律法规和规定。因此，如果符合相关条件，劳务公司是可以开具13%的劳务专用发票的。
针对劳务公司将工程承包给私人且未签劳动合同并拖欠工资的情况，建议采取以下措施：
首先，与劳务公司和私人承包商沟通，要求签订劳动合同并支付拖欠的工资。
其次，若沟通无果，可以向劳动监察部门投诉，并提供相关证据，如工作记录、工资条等。最后，若问题仍未解决，可寻求法律途径，保护自己的合法权益。