书面承诺在法律上是具有一定的法律效力的，一旦业务员给客户的书面承诺涉及到了公司的责任范围，并且客户能够证明其真实性和有效性，公司是需要履行相关责任的。
因为在法律上，书面承诺是一种具有法律约束力的证据，公司必须要履行承诺并承担相应的责任。因此，公司必须要严格遵守书面承诺所约定的条款和条件，确保对客户负责并履行相关承诺。
如果业务员给客户回扣被查，其责任在于违反了企业的反腐败政策和法律法规规定，涉及到职业道德和诚信问题。对于企业而言，应该进行风险防范和职业道德教育，以规范员工行为，避免类似事件的发生。同时，企业应该与相关部门与客户进行诚信宣传，倡导公平竞争和合法经营，并加强内部监管，及时发现和纠正问题。
业务员给客户的私人承诺，公司是否承担责任取决于以下几个因素：
1. 承诺内容：如果业务员的私人承诺违反了公司的规定或法律、法规，那么公司不承担责任。因为这种承诺本身就是无效的。
2. 知情同意：如果客户知道或应当知道业务员的承诺超出公司的权限，那么公司不承担责任。
3. company policy：公司是否有明确的政策禁止业务员做出此类承诺。如果公司有明确的政策，而业务员仍违反规定，那么公司可能需要承担责任。
4. 实际情况：公司是否实际受益或知道业务员的承诺并未表示反对。如果公司实际受益或知道业务员的承诺并未表示反对，那么公司可能需要承担责任。
总的来说，业务员的私人承诺是否能成为公司的责任，需要根据具体情况和公司的规定来判断。为了避免纠纷，公司应制定明确的规章制度，规范业务员的言行，并对业务员的承诺进行有效管理。同时，客户在签订合同前，也应详细了解公司的政策和业务员的权限，以避免不必要的纠纷。