1、已知条件中直线与圆若有公共点，且存在连接公共点的半径，可直接根据“经过直径的一端,并且垂直于这条直径的直线是圆的切线”来证明。口诀是“见半径，证垂直”。
2、条件中若给出了直线和圆的公共点，但没有给出过这个点的半径，则连结公共点和圆心，然后根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，口诀是“连半径，证垂直”。
3、已知条件若没有给出了直线和圆的公共点，则过圆心向这条直线引垂线，然后根据“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，口诀是“作垂直，证半径”。
切线的证明方法有以下几种：
圆心到直线的距离等于半径：这是判断切线最常用的方法，如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条直线就是圆的切线。
利用切线的定义：如果直线与圆有且仅有一个交点，那么这条直线就是圆的切线。
利用角的性质：如果直线与圆相切，那么这个圆心与切点形成的角等于90度。
利用直径的性质：如果直径垂直于一条直线，那么这条直径平分这条直线，所以可以利用直径的性质来判断切线。
利用垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么这个平面上的任何一条直线都垂直于这条直线，所以可以利用垂直的性质来判断切线。
以上是几种常见的切线证明方法，希望能对你有所帮助。
切线长可以通过斜率和勾股定理来证明。
首先，切线的斜率可以通过求导函数在该点处的值来得到。
然后，通过勾股定理可以计算出切线与曲线在该点的交点的距离，即为切线长。
具体地说，设曲线方程为y=f(x)，点P(x0,y0)在曲线上，则切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0)，其中f'(x0)为函数f(x)在点x0处的导数。
设切点为Q(x,y)，则切线长PQ=sqrt[(x-x0)^2+(y-y0)^2]。
因此，切线长的计算依赖于函数的导数和勾股定理。