没有，需要2月份才能领取养老金。养老金与工资一样遵循后发的原则，所以在1月4日退休的当月是没有养老金的，在职人员可以在这个月领取最后一份工资。
根据劳动法规定，员工在公司工作的第一个月，享有7天的试用期，期满后才能正式被认定为员工。因此，1月4号入职至1月19号离职期间，实际工作天数为16天。根据法律规定，员工应享有带薪假期，通常包括年假、带薪病假等。在这种情况下，员工有可能享有一部分带薪假期，但需要根据公司的具体规定和政策进行确认。因此，具体算法还需要查阅公司的规定和相关法律法规，以便更准确地计算休假天数。