可以追溯到清末时期，当时该地区主要是农田和菜园，被称为“家西”。到了民国初年，这里形成了一条巷子，并因在明代在此地建立了一座关帝庙而得名。关帝庙街位于关帝庙的东侧。关帝庙在当地社区中非常重要，居民们会在那里烧香求平安，尤其在秋收时节，庙前的空地会被村民们利用起来举行各种活动。

关羽的崇拜在中国历史上经历了多个阶段的发展。从魏晋南北朝时期的荆州和蜀地民间祭祀，到隋唐时期的官方和佛教的认可，再到宋元时期的道教、儒家、佛教的广泛信仰，关羽的地位逐渐升高。宋朝皇帝赐予关羽庙额，元朝继续封王，并派遣使者祭祀关羽。清朝时期，皇家尊崇关羽，立庙祭祀，并赐庙额“义高千古”。入关后，关羽被载入祀典，并不断加封。民国时期，尽管帝制被推翻，但关羽崇拜依然继续，袁世凯下令将关羽和岳飞合祀武庙。

综上所述，灞桥梁家街的关帝庙起源于清末民初时期，是当地社区的重要宗教和文化场所，与关羽在中国历史上的崇拜和信仰体系的发展密切相关。