圆的周长公式为 C = πd，其中 d 为圆的直径。这个公式是由圆周率 π 决定的，它是一个无理数，大约等于 3.14159。
根据圆的定义，我们知道圆的周长 C 是由直径 d 决定的，因此 C 和 d 的关系可以表示为 C = kd，其中 k 是一个常数。
而圆的面积公式为 A = πr^2，其中 r 为圆的半径。这是基于圆内接正方形的面积推导出来的，圆内接正方形的边长等于圆的直径，即 2r，所以面积就是 (2r)^2 = 4r^2。而圆的面积 A 和内接正方形的面积
不能掉落因为圆珠笔结构设计上采用了重心设计，即钢珠重心所处位置固定，使得摇晃时圆珠笔不易掉落。
此外，圆珠笔外壳材质与形状也会影响掉地的概率。
圆珠笔的设计还有待进一步改善，例如一些厂商可能会将圆珠笔的外观变得更有质感和美观，而同时又要保证其重量与重心的平衡，防止圆珠笔掉落。
近年来，也出现了一些防止圆珠笔掉落的随身携带装置，如圆珠笔吊饰、笔套等。
在边数相等的情况下正多边形的面积最大，比如若两相邻的边不等，容易证明在保持长度和不变的情况下一旦将它们换成相等时，比原面积要大，所以面积最大的是正多边形。
然后证明边数约大面积越大，方法是将正多边形像切蛋糕那样从中心点切成一片一片三角形，每一个三角形的面积等于边长乘以中心到边的距离除以2，于是整个多边形的面积等于周长乘以中心到边的距离除以2，周长一定时，中心到边的距离越长，面积越大。
可证边长越多时中心到边的距离越大，当边长趋于无穷时，中心到边的距离趋近于中心到顶点的距离，这时候面积是最大的。