是的，役前训练被刷掉的士兵可以申请复查，但需要满足一定条件。根据《兵役法》规定，士兵有权对所受之检查、核定、选拔及评鉴等结果提出申诉或申请复查。但是，复查要求必须提出在接受体检的3个工作日内，同时需要提供相关证明材料。
士兵应该及时向有关部门提出书面申请，并提供事实和证据，以便尽快予以处理。
役前训练被刷下来后，回家的时间取决于具体的情况和对应的军队政策规定。一般情况下，退役手续需要处理完毕，如相关体检、书面报告和审批过程等。这些手续处理时间都不同，可能需要几天到数周不等。此外，如果军队有任何调度需要，也会影响离开部队的时间。因此，退役士兵需要耐心等待和配合，以确保所有手续正确完成并获得军方的正式放行，才能离开部队回家。
在役前训练中，带不带学生证会因训练类型和地点而异。如果你是在校大学生参军，通常在进行训练时需要出示学生证明身份，以享受军队为学生提供的各种优惠政策。
如果你是在完成毕业典礼后直接参军，那就不需要带学生证了。然而，建议在参军之前带上身份证件或其他证明身份的文件，以备不时之需。无论如何，按照指示行事，遵守规定是每个士兵的职责。