行列式是一个用于矩阵的线性变换的量化描述的数值，由矩阵的元素所组成的双线性函数得到。行列式的定义是把矩阵变换看作是一个由一组线性方程组成的变换，对于n维矩阵，行列式是一个n阶的方阵，可以通过列展开式或行展开式来计算。
行列式的值代表着矩阵的线性变换对空间的影响，如果行列式为零，则说明线性变换把一个维度的空间变成了低维的空间，这个性质在计算中非常重要且有广泛应用。
行列式是线性代数中非常重要的概念，其类型多种多样。以下是几种常见的行列式类型：
方阵行列式：这是最常见的一种行列式类型，指行数和列数相等的行列式，也称为n阶行列式。方阵行列式可以用来解决方程组、计算向量空间的基等问题。
上三角行列式和下三角行列式：上三角行列式是指所有主对角线下方的元素都为零的行列式，而下三角行列式则是所有主对角线上方的元素都为零的行列式。这两种行列式的值都可以通过主对角线上元素的乘积得到。
对角行列式：对角行列式是指所有非主对角线上的元素都为零的行列式，即只有主对角线上的元素不为零。对角行列式的值等于主对角线上元素的乘积。范德蒙行列式是一个特殊的对角行列式，其值等于由向量组成的矩阵的行列式。
除了上述常见的行列式类型外，还有箭型行列式、两三角型行列式、两条线型行列式、Hessenberg型行列式、三对角型行列式、各行元素和相等型行列式、相邻两行对应元素相差K倍型行列式等多种类型。
请注意，不同的行列式类型具有不同的特性和计算方法。在解决具体的线性代数问题时，需要根据行列式的类型选择合适的方法进行计算。如需更多信息，建议查阅线性代数相关书籍或咨询专业数学教师。
一、行列式的定义
行列式是由n个数字aij(i=1,2,n;j=1,2,n)组成的矩形表格，通常用大写字母D表示。这些数字按照一定的规则排列，形成一个n阶方阵。行列式D的值是一个与方阵有关的唯一的数，它反映了方阵线性变换的性质。
二、行列式的性质
1.行列式的行和列具有相同的地位，因此行列式的性质可以按照行或列来描述。
2.交换两行或两列的位置，行列式的值不变。即，如果i≠j，那么Dij=Dji。
3.行列式的某一行或某一列中所有元素的公因子可以提取出来，提取后剩余的元素按照原来的相对位置排列组成的行列式与原来的行列式相等。即，如果k为常数，那么Dk=kD。
4.行列式中两行或两列对应元素相同，行列式的值为零。即，如果i=j，那么Dij=0。
5.行列式可以按照某一行或某一列展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。
6.行列式可以按照主对角线进行展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。
7.行列式可以按照某一行或某一列进行递推展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。
8.行列式可以按照某一行或某一列进行递归展开，展开后得到的行列式与原来的行列式相等。
三、行列式的计算
行列式的计算是线性代数中的基本技能之一，也是解决许多问题的关键步骤。下面介绍几种常见的计算方法：
1.利用定义计算
根据行列式的定义，我们可以直接计算行列式的值。对于n阶方阵A，其行列式的定义为D=a11A11+a12A12+.+anAn，其中Aii是元素aij的代数余子式。利用这个公式，我们可以直接计算任意一个n阶方阵的行列式。
2.利用性质计算
利用行列式的性质，我们可以简化行列式的计算。例如，根据行列式的交换律，我们可以将两行或两列交换位置；根据行列式的倍数律，我们可以将一行或一列乘以一个常数；根据行列式的零律，我们可以将一行或一列中所有元素设置为零；根据行列式的展开律，我们可以将行列式按照某一行或某一列展开等等。这些方法都可以简化行列式的计算。
3.利用递推公式计算
对于一些特殊的行列式，我们可以利用递推公式来计算它们的值。例如，对于范德蒙德行列式（Vandermonde determinant），我们可以利用递推公式来计算；对于切比雪夫行列式（Chebyshev determinant），我们也可以利用递推公式来计算等等。这些递推公式都是根据一定的规律推导出来的，可以大大简化行列式的计算过程。