首先，在双曲线焦点三角形ABC内切圆O上选取一个切点P，连接PA、PB、PC，并假设O在边BC上方的准线上。
然后，通过对三角形OAB和OAC使用正弦定理以及三角形PAB和PAC使用正弦定理，我们可以得出PA、PB、PC的长度表达式。
接下来，再应用角平分线定理和圆内接四边形性质，我们可以得到AB、AC、BC的长度表达式。通过将这些表达式带入双曲线焦点三角形内切圆的内心公式中，我们可以看出圆心O确实在准线上。
1. 定义式：双曲线是与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个常数等于两焦点之间的距离。这种形式也叫做双曲线的标准方程。
2. 参数方程：以参数形式表示双曲线的方程，通常用于描述双曲线的形状和大小。
3. 极坐标方程：将双曲线的坐标转化为极坐标形式，以便更好地研究其性质。
双曲线的绘制其实并不依赖于特定的画笔，而是更多地依赖于你的绘画技巧和所选择的工具。
对于初学者来说，普通的铅笔或者炭笔都是不错的选择，它们可以帮助你熟悉双曲线的形态和线条的流畅性。
而对于更专业的绘画者，他们可能会选择使用水彩、油画颜料或是数字绘画工具来创作双曲线，这些工具能够带来更丰富的色彩和质感变化。所以，关键是找到适合你绘画风格和技术水平的工具，并发挥你的创造力去绘制出美丽的双曲线作品。