教师哺乳期可以申请停薪留职，但需要满足一定条件。根据《中华人民共和国劳动法》规定，女职工怀孕、分娩或哺乳期间，如有特殊需要，可请假。此外，《国务院办公厅关于印发高校专任教师聘任与管理条例的通知》中也明确规定：高校专任教师在产假、哺乳期及相应照顾婴幼儿期间，其聘用关系不解除，不用于工作，不支付工资。
因此，教师在哺乳期间可以申请停薪留职，不过需与所在学校进行协商并符合相关规定。
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事业单位学校教师，由于婚外情等道德方面有所损缺，造成恶劣影响的话，会被单位开除。
法律依据
《中华人民共和国民法典》第一千零七十九条夫妻一方要求离婚的，可以由有关组织进行调解或者直接向人民法院提起离婚诉讼。人民法院审理离婚案件，应当进行调解；如果感情确已破裂，调解无效的，应当准予离婚。有下列情形之一，调解无效的，应当准予离婚：
（一）重婚或者与他人同居；
（二）实施家庭暴力或者虐待、遗弃家庭成员；
（三）有赌博、吸毒等恶习屡教不改；
（四）因感情不和分居满二年；
（五）其他导致夫妻感情破裂的情形。
一方被宣告失踪，另一方提起离婚诉讼的，应当准予离婚。经人民法院判决不准离婚后，双方又分居满一年，一方再次提起离婚诉讼的，应当准予离婚。
教师哺乳期是否可以申请停薪留职，实际上是一个涉及劳动法规定的问题。根据《中华人民共和国劳动法》的相关规定，女职工在孕期、产期、哺乳期内，用人单位不得解除劳动合同，也不得降低其基本工资。这意味着，在哺乳期间，教师享有特殊的工作保障。
然而，关于停薪留职的具体规定，劳动法并没有明确提及。停薪留职通常涉及到员工与用人单位之间的协商和协议，它可能因地区、单位政策等因素而有所不同。因此，教师在哺乳期是否可以申请停薪留职，还需结合具体的法律法规和单位政策进行考虑。
总的来说，教师在哺乳期享有特殊的工作保障，但停薪留职是否可行还需根据具体情况来判断。建议教师在考虑停薪留职前，先了解相关法律法规和单位政策，并与用人单位进行充分沟通和协商。