一、平面向量的定义和性质
1. 平面向量的定义：平面上的向量是由两个有序数对表示的，称为平面向量。
2. 平面向量的性质：
（1）平面向量有大小和方向，大小为其长度，方向为从起点指向终点的方向。
（2）平面向量可以相加、相减和数乘，满足加法交换律、结合律和数乘结合律。
（3）平面向量之间可以定义数量积和叉积，满足数量积交换律、结合律和分配律，叉积具有反交换律和分配律。
二、平面向量的表示方法
1. 坐标表示法：设平面上两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则以A为起点，B为终点所表示的平面向量为AB=(x2-x1,y2-y1)。
2. 向量符号表示法：在AB上任取一点C作为起点，则以C为起点，B为终点所表示的平面向量也是AB。
三、平面向量之间的运算
1. 平移：将一个平面上的向量沿着另一个给定的非零向量进行移动得到新的向量。
2. 旋转：将一个给定角度旋转后得到新的向量。
3. 投影：将一个向量沿着另一个向量的方向投影得到新的向量。
4. 反向：将一个向量反过来得到新的向量。
5. 平面向量之间的加法、减法和数乘运算。
四、平面向量的应用
1. 向量运动学：平面上的物体在运动时可以用平面向量表示其位移、速度和加速度等物理量。
2. 向量力学：平面上的物体在受力时可以用平面向量表示其受力和作用力等物理量，通过分解力求解问题。
3. 向量几何：利用平面向量可以求解线段长度、角度、垂直、平行等几何问题，如判断两条直线是否相交，判断三点共线等问题。
4. 向量代数：利用平面向量可以进行代数运算，如求解方程组、矩阵计算等问题。
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一、向量的有关概念
（一）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模).
数量只有大小没有方向。
（二）零向量：长度为0的向量，其方向是任意的.记作0.
（三）单位向量：长度等于1个单位的向量.
单位向量的方向不确定，且有无数个。
（四）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量.记作a∥b.
规定：0与任一向量平行.
（五）相等向量：长度相等且方向相同的向量.记作a=b.
（六）相反向量：长度相等且方向相反的向量.a+b=0.
二、向量的线性运算
（一）加法，求两个向量和的运算，可利用三角形法则和平行四边形法则运算。
运算律：
(1)交换律：
a＋
b＝
b＋
a.
(2)结合律：(
a＋
b)＋
c＝
a＋(
b＋
c)
（二）减法，减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
运算律：
a－
b＝
a＋(－
b)
（三）数乘，求实数λ与向量a的积的运算.
λa＝
a
(2)当
λ＞0时，
λa的方向与
a的方向
相同；当
λ＜0时，
λa的方向与
a的方向
相反；
λ＝0时，
λa＝
0.
运算律：
λ(
μa)＝
λμa；
λ＋
μ)
a＝
λa＋
μa；
λ(
a＋
b)＝
λa＋
λb.
以下是平面向量及其应用的一些重要知识点归纳：
1.向量的定义：向量是既有大小又有方向的量，可以用有向线段来表示。
2.向量的加减法：满足三角形法则或平行四边形法则，即两个力（或者其他任何矢量）合成，将一个力的起始点移动到另一个的终点，合力为从第二的起点到第一的终点。
3.向量的数乘：实数与向量的乘积仍然是一个向量，其方向与原向量相同或相反，大小为实数与向量模的乘积。
4.向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，可以用坐标表示向量，向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标。
5.向量的模：向量的长度（或大小）称为向量的模，记作\\boldsymbol{v}。
6.向量的内积（点积）：两个向量的内积是一个标量，等于它们的模的乘积乘以它们的夹角的余弦值。
7.向量的垂直关系：如果两个向量的内积为零，则它们互相垂直。
8.平面向量基本定理：如果\\boldsymbol{e_1}和\\boldsymbol{e_2}是平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任意向量\\boldsymbol{a}，存在唯一的实数对(x,y)，使得\\boldsymbol{a}=x\\boldsymbol{e_1}+y\\boldsymbol{e_2}。
9.向量的应用：向量在物理、几何学、工程学等领域有广泛的应用，例如力、速度、位移等的分析。
这些知识点是平面向量的基础，理解和掌握它们对于解决向量相关的问题非常重要。