根据《中华人民共和国民事诉讼法》的规定，若原告提出鉴定申请并取得了鉴定结果，且该鉴定能够对案件的裁决有重大作用，那么被告方应承担原告的司法鉴定费用。司法鉴定费用应按照实际支付的数额予以赔偿。但若鉴定结果并没有对裁决案件产生实质性影响，则费用应由原告方承担。
原告可以向法院提请调查被告人离婚的真实性，但必须提供充足的证据来证明其离婚的相关情况与本案有关。具体要看具体情况，如果离婚的真实性对本案解决有较大的影响，法院可能会进行必要的调查。但如果离婚的真实性并不重要，或者证据不足以证明其与本案有关，则法院可能会拒绝该请求。