根据中国政府有关残疾人就业的政策，三级残疾人在事业单位就业时可以享受以下国家待遇：
1. 入职照顾：国家支持用人单位向符合招聘条件但普通岗位无法胜任的残疾人提供入职照顾，即招聘时给予一定程度的偏重。
2. 无障碍设施：用人单位在为残疾人提供工作场所时，应当配备相应的无障碍设施和改造工程，在办公环境、交通、通讯等方面给予便利，确保残疾人能够顺畅地开展工作。
3. 体检豁免：残疾人因病不适宜进行体检的，可以向用人单位申请体检豁免。
4. 工作适度安排：用人单位在安排残疾人工作时，应当根据其身体条件及其他需要，给予适当的工作安排，确保其安全、健康和舒适度。
三支一扶人员确实有机会转正并成为事业单位的正式员工。
1、服务期满且考核合格：三支一扶人员在服务期满并且考核合格后，可以在原岗位落实事业编，按照事业单位的招聘人员来对待。
2、优惠政策：服务期满的三支一扶人员享受一定的优惠政策，包括但不限于：就地转正入编，各地会拿出一定比例的岗位用于招录三支一扶人员，招录形式各地不一。报考党政机关公务员时，可以优先录用。到西部地区和艰苦边远地区服务2年以上，服务期满后3年内报考硕士研究生的，初试总分加10分，同等条件下优先录取。
3、服务期内待遇：服务期内，三支一扶人员虽然没有编制，不能转正，但工资待遇参照普通事业在编人员标准发放，包括五险一金等福利性待遇。
综上所述，三支一扶人员在满足服务期满且考核合格的条件后，有机会转正成为事业单位的正式员工，并且可以享受一定的优惠政策。
关于事业单位上班九个小时、做一休一的工作制度是否可以享受连休的问题，答案可能因具体地区和单位的规定而异。通常，这样的工作安排是为了保证服务的连续性和效率，特别是在需要24小时运作的部门，如医疗、公安等。
在大部分情况下，事业单位的工作安排和休假政策都会遵循国家的劳动法律法规。根据《中华人民共和国劳动法》的规定，劳动者每周应至少休息一天，每天工作时间不超过8小时，每周工作时间不超过44小时。因此，如果事业单位安排员工连续工作9小时并做一休一，实际上已经超出了每天8小时的工作时间限制。
至于连休的问题，这通常取决于单位的具体规定。一些单位可能会允许员工在连续工作多天后享受连休，以平衡工作量和休息时间。但这也可能因行业、职位和地区的不同而有所差异。
因此，建议您查阅所在事业单位的具体规定或咨询人力资源部门，以了解您的具体工作安排和休假政策。同时，如果您认为自己的工作安排违反了国家的劳动法律法规，也可以向当地劳动监察部门投诉。